Matemática · 1º ano
Função quadrática (2º grau): parábola, vértice e raízes
A função quadrática é f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). O gráfico é uma parábola: o sinal de a diz se ela abre para cima ou para baixo, e o vértice é o ponto de máximo ou de mínimo.
xv = −b / 2a · yv = −Δ / 4acoordenadas do vértice
Δ = b² − 4acdiscriminante: diz quantas raízes reais existem
Concavidade
- a > 0: parábola com a abertura para cima (tem ponto de mínimo).
- a < 0: abertura para baixo (tem ponto de máximo).
Raízes
As raízes são os pontos onde a parábola corta o eixo x. Calcule com a fórmula de Bhaskara: Δ > 0 dá duas raízes, Δ = 0 dá uma, Δ < 0 não dá raiz real.
Vértice
O vértice fica exatamente no meio das duas raízes. Use xv = −b/2a e depois calcule yv = f(xv) (ou −Δ/4a).
Exemplo completo
f(x) = x² − 4x + 3a = 1 > 0 → abre para cima.
Δ = 16 − 12 = 4 → raízes x = (4 ± 2)/2 → 1 e 3
Vértice: xv = 4/2 = 2; yv = −4/4 = −1 → V(2, −1)
Corta o eixo y em (0, 3).
Δ = 16 − 12 = 4 → raízes x = (4 ± 2)/2 → 1 e 3
Vértice: xv = 4/2 = 2; yv = −4/4 = −1 → V(2, −1)
Corta o eixo y em (0, 3).
Problemas de máximo e mínimo
O lucro de uma loja é L(x) = −x² + 10x (x em centenas de peças). Qual o lucro máximo?a < 0 → tem máximo no vértice.
xv = −10 / (2·(−1)) = 5 → L(5) = −25 + 50 = 25
O lucro máximo acontece vendendo 5 centenas de peças.
xv = −10 / (2·(−1)) = 5 → L(5) = −25 + 50 = 25
O lucro máximo acontece vendendo 5 centenas de peças.
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