Matemática · Equação do 2º grau
Fórmula de Bhaskara: como resolver equação do 2º grau
A fórmula de Bhaskara resolve qualquer equação do tipo ax² + bx + c = 0 (com a ≠ 0). São só dois passos: calcular o delta (Δ) e depois o x.
Δ = b² − 4·a·cPasso 1: o discriminante (delta)
x = ( −b ± √Δ ) / 2aPasso 2: as raízes da equação
Passo a passo
- Deixe a equação na forma ax² + bx + c = 0 (tudo de um lado, zero do outro).
- Identifique a, b e c, com os sinais.
- Calcule Δ = b² − 4ac.
- Use x = (−b ± √Δ) / 2a: uma vez com + e outra com −.
- Confira substituindo as raízes na equação original.
O que o delta indica
| Valor de Δ | Raízes reais | No gráfico (parábola) |
|---|---|---|
| Δ > 0 | duas raízes diferentes | corta o eixo x em 2 pontos |
| Δ = 0 | uma raiz (dupla) | encosta no eixo x em 1 ponto |
| Δ < 0 | nenhuma raiz real | não toca o eixo x |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: x² − 5x + 6 = 0a = 1, b = −5, c = 6
Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2 → x₁ = 6/2 = 3 e x₂ = 4/2 = 2
Conferindo: 3² − 5·3 + 6 = 0 ✓ e 2² − 5·2 + 6 = 0 ✓
Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2 → x₁ = 6/2 = 3 e x₂ = 4/2 = 2
Conferindo: 3² − 5·3 + 6 = 0 ✓ e 2² − 5·2 + 6 = 0 ✓
Exemplo 2: 2x² + 4x + 2 = 0a = 2, b = 4, c = 2
Δ = 4² − 4·2·2 = 16 − 16 = 0
x = −4 / (2·2) = −1 (raiz dupla)
Δ = 4² − 4·2·2 = 16 − 16 = 0
x = −4 / (2·2) = −1 (raiz dupla)
Exemplo 3: x² + x + 1 = 0Δ = 1² − 4·1·1 = −3. Como Δ < 0, a equação não tem raiz real.
Equações incompletas (sem precisar de Bhaskara)
- Sem o b (ex.: 3x² − 12 = 0): isole o x² → x² = 4 → x = 2 ou x = −2.
- Sem o c (ex.: x² − 7x = 0): coloque x em evidência → x(x − 7) = 0 → x = 0 ou x = 7.
Atalho: soma e produto
Quando a = 1, dá para achar as raízes de cabeça: procure dois números cuja soma é −b/a e cujo produto é c/a. No exemplo 1, soma 5 e produto 6 → 2 e 3.
Erros comuns
- Esquecer o sinal do b: se b = −5, então −b = +5.
- Achar que (−5)² = −25. O certo é +25.
- Dividir só a raiz por 2a: o 2a divide todo o numerador (−b ± √Δ).
- Usar a fórmula sem igualar a equação a zero.
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