Matemática › 1º ano

Matemática · 1º ano

Progressão geométrica (PG): termo geral e soma

Uma PG é uma sequência em que cada termo é o anterior multiplicado por um valor fixo, a razão q. Exemplo: 2, 6, 18, 54, … (q = 3).

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹termo geral
Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1)soma dos n primeiros termos (q ≠ 1)
Mapa mental de Progressão geométrica (PG) - Kifácil
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Razão

A razão é o quociente entre um termo e o anterior: q = a₂ / a₁. Com a₁ > 0: q > 1 crescente, 0 < q < 1 decrescente, q = 1 constante. Se q < 0, a PG é alternante (os sinais se alternam).

Termo geral

Na PG 2, 6, 18, …, qual é o 6º termo?a₁ = 2 e q = 3
a₆ = 2 · 3⁵ = 2 · 243 = 486

Soma dos termos

Soma dos 6 primeiros termos de 2, 6, 18, …S₆ = 2 · (3⁶ − 1) / (3 − 1) = 2 · 728 / 2 = 728

Soma da PG infinita

Quando −1 < q < 1, os termos vão ficando cada vez menores e a soma de infinitos termos tem um valor: S = a₁ / (1 − q).

Calcule 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …a₁ = 1 e q = 1/2
S = 1 / (1 − 1/2) = 2

Exemplo de prova

Numa PG, a₁ = 3 e a₄ = 24. Qual é a razão?24 = 3 · q³ → q³ = 8 → q = 2
Termo do meioEm três termos seguidos (a, b, c) de uma PG, vale b² = a · c.

Dica: três termos em PG

Quando o problema fala de três números em PG, chame-os de (x/q, x, x · q). O produto fica x³, e a conta simplifica muito.

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